Nachhilfe-Studio Möller

die kompetente Mathematik-Nachhilfe in Flensburg

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Einführung CAS

Mathematik-Nachhilfe in Flensburg

Das Nachhilfe-Studio Möller befindet sich im Zentrum von Flensburg, 2 Minuten vom ZOB gelegen. So ist es mit Bus gut zu erreichen.

fachlich und pädagogische Kompetenz

individuell angepasster Unterricht

anschauliche und verständliche Erläuterungen

Nachhilfe im Einzelunterricht

Die Mathe-Nachhilfe wird ausschließlich als Einzelunterricht angeboten. Der Nachhilfe-Unterricht kann schulbegleitend oder auch als Prüfungsvorbereitung in Anspruch genommen werden.

Dabei bildet die Unterrichtung der gymnasialen Oberstufe sowie die Vorbereitung auf die Abiturprüfung einen besonderen Schwerpunkt.

Der Unterricht wird stets von mir, Torsten Möller, persönlich ausgeführt und zeichnet sich aus durch

eine freundliche und angenehme Arbeitsathmosphäre
ein Abholen des Schülers dort, wo er sich befindet
ein angemessenes und schülergerechtes Erläutern des Lernstoffes
ein Eingehen auf den Schüler mit Ruhe und Einfühlungsvermögen
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Dieser Test ist vielmehr ein Tutorial aus den Bereichen

  • Auflösen von Gleichungen
  • Umformen von Termen
  • Bruchrechnung
  • Potenz- und Wurzelgesetze

anhand von Themen der gymnasialen Oberstufe (nur für diese geeignet).

Quiz

1.

    \[ f(x) = 0.25x^3 - 0.5x^2 - 2x \]

Wie sieht der Graph dieser Funktion aus?

Berechne zunächst die Nullstellen. Es muss gelten

 

Frage 1 von 23

2.

Berechne zunächst

    \[ 0 = 0.25x^3 - 0.5x^2 - 2x \]

ohne Taschenrechner.
Welches ist die richtige Vorgehensweise?

 

Frage 2 von 23

3. Wie sieht die Gleichung nach dem Ausklammern aus?

 

Frage 3 von 23

4. Mit welcher Annahme wird weiter gerechnet?

 

Frage 4 von 23

5.

Eine Nullstelle liegt also bei x_1=0. Die weiteren Nullstellen von

    \[ 0.25x^2 - 0.5x - 2 = 0 \]

werden mit der PQ-Formel berechnet. Wie lautet die PQ-Formel?

 

Frage 5 von 23

6.

Es wird von der Normalform

    \[ x^2 + px + q = 0 \]

ausgegangen.

Sind bei der Gleichung

    \[ 0.25x^2 - 0.5x - 2 = 0 \]

    \[ p = -0.5 \quad \textit{und} \quad q = -2 ? \]

 

Frage 6 von 23

7.

Natürlich muss bei

    \[ 0.25x^2 - 0.5x - 2 = 0 \]

die 0.25 noch verschwinden. Wir rechnen also

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{ r c l l} 0.25x^2 - 0.5x - 2 & = & 0 & | \cdot 4 \\ x^2 - 2x - 8 & = & 0 & \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

Wie lauten für die Normalform

    \[ x^2 + px + q = 0 \]

die Werte für p und q?

 

Frage 7 von 23

8.

Eingesetzt in die PQ-Formel

    \[ \begin{array}{ r c l } x_{2,3} & = & - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{array} \]

erhalten wir

    \[ \begin{array}{ r c l } x_{2,3} & = & - \frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \end{array} \]

Wie lautet die Gleichung weiter aufgelöst ?

 

Frage 8 von 23

9.

Bei

    \begin{equation*} \begin{array}{ r c l } x_{2,3} & = & 1\pm \sqrt{1+8} \end{array} \end{equation*}

lauten die Nullstellen

    \begin{equation*} N_2 \, \textit{ und } \, N_3 \end{equation*}

 

Frage 9 von 23

10.

Mit

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{array}{ r r r c r l } N_2 & ( & 4 & | & 0 & ) \\ N_3 & ( & -2 & | & 0 & ) \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \]

sind die beiden folgenden Graphen denkbar:

Rendered by QuickLaTeX.com

und

Rendered by QuickLaTeX.com

Um festzustellen, welcher Graph richtig ist, werden die Extrempunkte berechnet.
Wie lautet die notwendige Bedingung ?

 

Frage 10 von 23

11.

Wie lautet die 1. Ableitung von

    \[ f(x) = 0.25x^3 - 0.5x^2 - 2x ? \]

 

Frage 11 von 23

12.

Löse

    \[ 0 = \frac{3}{4}x^2 - x - 2 \]

mit der PQ-Formel. Bringe die Gleichung erst in die Normalform in der Art

    \[ 0 = x^2 + px + q \]

 

Frage 12 von 23

13.

Die Werte von p und q der Gleichung

    \[ 0 = x^2 - \frac{4}{3} x - \frac{8}{3} \]

in die PQ-Formel eingesetzt ergeben

 

Frage 13 von 23

14.

Um den Wurzelinhalt von

    \[ \begin{array}{ r c l } x_{1,2} & = & - \frac{-\frac{4}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{4}{3}}{2}\right)^2-\left(-\frac{8}{3}\right)} \end{array} \]

weiter zusammen zu fassen, wird der Doppelbruch

    \[ \frac{-\frac{4}{3}}{2} \]

zu einen einfachen Bruch umgeformt. Beachte dabei folgendes:

  1. Ein Doppelbruch ist nichts anderes als eine Division von 2 Brüchen:

        \[ \frac{-\frac{4}{3}}{2} = -\frac{4}{3} : 2 \]


  2. Man dividiert 2 Brüche, indem man den 1. Bruch mit dem Kehrwert des 2. Bruches multipliziert:

        \[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]


  3. Ganze Zahlen lassen sich auch als Bruch schreiben:

        \[ 2 = \frac{2}{1} \]

 

Frage 14 von 23

15.

Mit

    \[ -\frac{2}{3} , \]

folgt

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.4} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{- \frac{-\frac{4}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{4}{3}}{2}\right)^2-\left(-\frac{8}{3}\right)}} \\ \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{\frac{2}{3}\pm \sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^2-\left(-\frac{8}{3}\right)}} \\ \end{array} \]

Als nächste lösen wir das Quadrat auf. Es gilt

 

Frage 15 von 23

16.

Damit erhalten wir

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{\frac{2}{3}\pm \sqrt{\left(\frac{-2}{3}\right)^2-\left(-\frac{8}{3}\right)}} \\ \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{\frac{2}{3}\pm \sqrt{ \frac{4}{9}+\frac{8}{3}}} \\ \end{array} \]

Um den Wurzelinhalt weiter zusammen zu fassen bilden wir den Hauptnenner, der lautet

 

Frage 16 von 23

17.

Der Bruch

    \[ \frac{8}{3} \]

wird auf den Nenner 9 erweitert. Wie lautet der neue Bruch ?

 

Frage 17 von 23

18.

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{\frac{2}{3}\pm \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{8}{3}}} \\ \mathlarger{x_{1,2}} & = & \mathlarger{\frac{2}{3}\pm \sqrt{ \frac{4}{9}+\frac{24}{9}}} \\ \end{array} \]

Wie lautet der Wurzelinhalt zu einem Bruch zusammengefasst ?

 

Frage 18 von 23

19.

    \[ x_{1,2} = \frac{2}{3}\pm \sqrt{ \frac{28}{9}} \]

können wir auch schreiben als

    \[ x_{1,2} = \frac{2}{3}\pm \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{9}} \]

und weiter

    \[ x_{1,2} = \frac{2}{3}\pm \frac{\sqrt{28}}{3} \]

Daraus ergeben sich die Lösungen

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c c c c c r } \mathlarger{x_1} & = & \mathlarger{\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{28}}{3}} & = & \mathlarger{\frac{2 + \sqrt{28}}{3}} & \mathlarger{\approx} & \mathlarger{2.43} \\ \mathlarger{x_2} & = & \mathlarger{\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{28}}{3}} & = & \mathlarger{\frac{2 - \sqrt{28}}{3}} & \mathlarger{\approx} & \mathlarger{-1.10} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

 

Um zu sehen, bei welchem x-Wert der Hochpunkt bzw. der Tiefpunkt liegt, benötigen wir die hinreichenden Bedingung.

 

Wie lautet sie ?

 

Frage 19 von 23

20.

Für die berechneten Werte

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{x_1} & = & \mathlarger{\frac{2 + \sqrt{28}}{3}} \\ \mathlarger{x_2} & = & \mathlarger{\frac{2 - \sqrt{28}}{3}} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

gilt bereits f\/'(x)=0. Nun folgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung.

 

Wie lautet sie, wenn

    \[ f\/'(x) = 0.75x^2 - x - 2 \]

ist?

 

Frage 20 von 23

21.

Wir setzen die x-Werte ein und erhalten

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c c c r} \mathlarger{f\/''\left(\frac{2 + \sqrt{28}}{3}\right)} & = & \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 + \sqrt{28}}{3} - 1} \\ \mathlarger{f\/''\left(\frac{2 - \sqrt{28}}{3}\right)} & = & \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 - \sqrt{28}}{3} - 1} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Hier betrachten wir zunächst den Term

    \[ 1.5 \cdot \frac{2 + \sqrt{28}}{3} - 1 \]

und lösen ihn hilfsmittelfrei.
Wir ziehen von

    \[ \sqrt{28} \]

als Erstes teilweise die Wurzel. Wir zerlegen dazu 28 in eine Multiplikation, wobei ein Faktor eine Quadratzahl sein soll.

 

Welche Multiplikation ist die Richtige ?

 

Frage 21 von 23

22.

Nach den Potenz- und Wurzelgesetzen gilt

    \[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \qquad \qquad ( 2. \textit{Potenzgesetz}) \]

sowie

    \[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \qquad ( \textit{Wurzelgesetze} \: \textit{Multiplikation}) \]

 

Also gilt

    \[ \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{7} \]

und weiter

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r l } & \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 + \sqrt{28}}{3} - 1} \\ = & \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{7}}{3} - 1} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

 

Wie wird

    \[ \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{7}}{3} \]

nun weiter aufgelöst ?

 

Frage 22 von 23

23.

Mit einer Summe im Bruch können wir nicht direkt kürzen.

Wir müssen erst einmal ausklammern, auch faktorisieren genannt, damit wir im Zähler eine Multiplikation haben.

Dann erst wäre kürzen möglich.

 

Wir lösen den Term also insgesamt auf mit

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c l } \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 + \sqrt{28}}{3} - 1} & = & \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{7}}{3} - 1} \\ & = & \mathlarger{1.5 \cdot \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{7})}{3} - 1} \\ & = & \mathlarger{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot (1 + \sqrt{7}) - 1} \\ & = & \mathlarger{\frac{6}{6} \cdot (1 + \sqrt{7}) - 1} \\ & = & \mathlarger{1 \cdot (1 + \sqrt{7}) - 1} \\ & = & \mathlarger{1 + \sqrt{7} - 1} \\ & = & \mathlarger{\sqrt{7}} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Entsprechend ist

    \[ 1.5 \cdot \frac{2 - \sqrt{28}}{3} - 1 = -\sqrt{7} \]

 

Daraus ergibt sich

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{3.2} \begin{array}{ r c c c r} \mathlarger{f\/''\left(\frac{2 + \sqrt{28}}{3}\right)} & = & \mathlarger{\sqrt{7}} \\ \mathlarger{f\/''\left(\frac{2 - \sqrt{28}}{3}\right)} & = & \mathlarger{-\sqrt{7}} \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \]

Welche Aussage ist nun richtig ?

 

Frage 23 von 23


 

Blog

Schülerin lernt für das AbiturIn meinem Blog  stelle ich kostenlos die Abiturprüfung 2018 mit Lösung aus Schleswig-Holstein für alle Abiturienten zur Verfügung.

Darüber hinaus veröffentliche ich mathematische Grundlagen und starte mit dem Thema Mengen. Dabei sind die Definitionsmenge und Wertemenge für das Abitur relevant.

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Schülerin an der Schultafel2011 wurde das Bildungspaket eingeführt, um auch Familien mit geringem Einkommen ein Nachhilfeunterricht zu gewährleisten.

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Prüfungsaufgaben des Abiturs 2018 mit ausführlichen Lösungen auf 127 Seiten.

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An 4 Flensburger Schulen wird mit dem CAS-Rechner gearbeitet.

  • Auguste-Viktoria-Schule : ti-nspire
  • Hannah-Arendt-Schule : ti-nspire
  • Fördegymnasium: casio classpad
  • Handelslehranstalt: casio classpad

Ich führe gerne in die Benutzung des CAS ein.

Meinungen


Herr Möller hat mit seiner geduldigen und wertschätzenden Art und seinem Fachwissen sehr geholfen. Unsere Kinder haben wieder Freude am Matheunterricht und haben sich um 2 Noten verbessert.

A. Arnold


Herr Möller hat es mit seiner ruhigen, zugewandten Art geschafft, unserem Sohn die Inhalte der Mathematik so zu vermitteln, dass er wieder Anschluss an die Thematik hat und sogar zunehmend Spaß am Schulunterricht. Herr Möller arbeitet sowohl Themenbereiche, die noch nicht sitzen, sorgfältig nach, als auch neue Themen vor. Durch diesen Lern-Vorsprung kann sich unser Sohn im Schulunterricht müdlich zunehmend aktiv beteiligen, was sich positiv in der mündlichen Note widerspiegelt.

A. Reuter

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